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  • 高中数学必修知识点归纳大全

    正文概述 岁月如歌   2022-06-19   0

    高一新生要根据自己的条件,以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强,以及考查的知识和思维触点广的特点,找寻一套行之有效的学习方法。下面是小编给大家带来的高中数学必修知识点归纳大全,以供大家参考!

    高中数学必修知识点归纳大全

    一、平面的基本性质与推论

    1、平面的基本性质:

    公理1如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;

    公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;

    公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

    2、空间点、直线、平面之间的位置关系:

    直线与直线—平行、相交、异面;

    直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内,最易忽视);

    平面与平面—平行、相交。

    3、异面直线:

    平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);

    所成的角范围(0,90)度(平移法,作平行线相交得到夹角或其补角);

    两条直线不是异面直线,则两条直线平行或相交(反证);

    异面直线不同在任何一个平面内。

    求异面直线所成的角:平移法,把异面问题转化为相交直线的夹角

    二、空间中的平行关系

    1、直线与平面平行(核心)

    定义:直线和平面没有公共点

    判定:不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面(由线线平行得出)

    性质:一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线就和两平面的交线平行

    2、平面与平面平行

    定义:两个平面没有公共点

    判定:一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,则这两个平面平行

    性质:两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

    3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线

    三、空间中的垂直关系

    1、直线与平面垂直

    定义:直线与平面内任意一条直线都垂直

    判定:如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直,则该直线与此平面垂直

    性质:垂直于同一直线的两平面平行

    推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面

    直线和平面所成的角:【0,90】度,平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角,特别规定垂直90度,在平面内或者平行0度

    2、平面与平面垂直

    定义:两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)

    判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

    性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

    人教版高一数学知识点框架

    1.等比中项

    如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

    有关系:

    注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

    2.等比数列通项公式

    an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1,公比是q)

    an=Sn-S(n-1)(n≥2)

    前n项和

    当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为

    Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

    当q=1时,等比数列的前n项和的公式为

    Sn=na1

    3.等比数列前n项和与通项的关系

    an=a1=s1(n=1)

    an=sn-s(n-1)(n≥2)

    4.等比数列性质

    (1)若m、n、p、q∈N_,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;

    (2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。

    (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

    (4)等比中项:q、r、p成等比数列,则aq·ap=ar2,ar则为ap,aq等比中项。

    记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

    另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

    (5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

    (6)任意两项am,an的关系为an=am·q’(n-m)

    (7)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。

    注意:上述公式中a’n表示a的n次方。

    高一数学知识点小结

    立体几何初步

    1、柱、锥、台、球的结构特征

    (1)棱柱:

    定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

    分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

    表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱。

    几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

    (2)棱锥

    定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体。

    分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

    表示:用各顶点字母,如五棱锥

    几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

    (3)棱台:

    定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分。

    分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

    表示:用各顶点字母,如五棱台

    几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

    (4)圆柱:

    定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

    几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

    (5)圆锥:

    定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

    几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

    (6)圆台:

    定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

    几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

    (7)球体:

    定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

    几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

    2、空间几何体的三视图

    定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

    注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

    俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

    侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

    3、空间几何体的直观图——斜二测画法

    斜二测画法特点:

    ①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

    ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

    直线与方程

    (1)直线的倾斜角

    定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

    (2)直线的斜率

    ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,。当时,;当时,不存在。

    ②过两点的直线的斜率公式:

    注意下面四点:

    (1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;

    (2)k与P1、P2的顺序无关;

    (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

    (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

    幂函数

    定义:

    形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

    定义域和值域:

    当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域

    性质:

    对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

    首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

    排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;

    排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;

    排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

    指数函数

    (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

    (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

    (3)函数图形都是下凹的。

    (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

    (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

    (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

    (7)函数总是通过(0,1)这点。

    (8)显然指数函数无界。

    奇偶性

    定义

    一般地,对于函数f(x)

    (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

    (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

    (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

    (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。


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