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  • 最新高一数学知识点总结大全

    正文概述 爱学习   2022-07-05   0

    数学是我们我们从小学到大的一门学科,如果能认认真真学下来,数学并不难,只是数学要下苦功去学,学会了很有意思。这次小编给大家整理了高一数学知识点总结,供大家阅读参考。

    高一数学知识点总结

    高一数学知识点总结

    I.定义与定义表达式

    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

    y=ax^2+bx+c

    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

    则称y为x的二次函数。

    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    II.二次函数的三种表达式

    一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

    顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

    交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

    h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

    III.二次函数的图像

    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,

    可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

    IV.抛物线的性质

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

    x=-b/2a。

    对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

    2.抛物线有一个顶点P,坐标为

    P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

    |a|越大,则抛物线的开口越小。

    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

    抛物线与y轴交于(0,c)

    6.抛物线与x轴交点个数

    Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

    Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

    Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

    高一数学知识点

    1.函数的奇偶性

    (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);

    (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);

    (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

    (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;

    (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

    2.复合函数的有关问题

    (1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

    (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

    3.函数图像(或方程曲线的对称性)

    (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

    (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;

    (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

    (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

    (5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

    (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

    4.函数的周期性

    (1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

    (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

    (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

    (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;

    (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

    (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;

    5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

    a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

    (1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

    (2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

    (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

    (4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

    6.判断对应是否为映射时,抓住两点:

    (1)A中元素必须都有象且;

    (2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

    7.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

    8.对于反函数,应掌握以下一些结论:

    (1)定义域上的单调函数必有反函数;

    (2)奇函数的反函数也是奇函数;

    (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

    (4)周期函数不存在反函数;

    (5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

    (6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

    9.处理二次函数的问题勿忘数形结合

    二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

    10.依据单调性

    利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

    数学知识点总结

    幂函数的性质:

    对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

    首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

    排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;

    排除了为0这种可能,即对于x<0x="">0的所有实数,q不能是偶数;

    排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

    总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;

    如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。

    在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。

    在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。

    而只有a为正数,0才进入函数的值域。

    由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

    可以看到:

    (1)所有的图形都通过(1,1)这点。

    (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。

    (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。

    (4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。

    (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。

    (6)显然幂函数无界。

    解题方法:换元法

    解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

    换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

    它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

    学习数学小窍门

    建立数学纠错本。

    把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

    限时训练。

    可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水平。

    调整心态,正确对待考试。

    首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。


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